CHAPITRE 4 : LES FRACTIONS
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Cet article a pour but de te faire comprendre le système des fractions par des manipulations concrètes.
Une fois que tu auras compris certains concepts et que tu auras vérifié certaines propriétés des fractions, il faudra appliquer ces propriétés à des nombres abstraits, c'est à dire faire des calculs sans pour autant qu'ils soient rattachés à une situation de la vie réelle.
C'est ce qui fait la différence entre l'école primaire et le collège.
Il faut partir du principe que tout s'explique, trouver la méthode qui convient pour expliquer et pour comprendre, qui peut être différente d'un individu à l'autre , et, ensuite, se faire confiance. On est tous capables de devenir bon en mathématiques et même à éprouver du plaisir à faire des mathématiques.
Voici une façon de procéder . J'espère que cela te servira. Mais ne t'inquiète pas, il existe de multiples chemins pour arriver à la connaissance et d'autres te conviendront peut-être mieux.
Observe les photos suivantes.
Tu peux y voir des boîtes et des contenants. Nous dirons que ces boîtes sont des unités qui peuvent être utilisées pour des calculs dans des situations-problèmes qu'on peut avoir par exemple dans le transport de denrées alimentaires, le calcul des bénéfices après un inventaire dans un magasin, l'estimation des pertes après un sinistre etc...
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Lorsque tu les observes bien, tu remarqueras que ces unités sont elles-mêmes découpées en parts égales, des cavités pour placer un œuf, ou un biscuit, un espace pour déposer une ampoule de soins.
Ces cavités correspondent à des morceaux d'unités.
Cela permet d'avoir plusieurs écritures numériques pour une même unité.
Exemples:
1.
1 boite = 12/12 boîte se lit douze douzièmes
Les douzièmes sont les morceaux de cette unité
2.
1 boîte = 6/6 boîte se lit six sixièmes
Les sixièmes sont les morceaux de cette unité
Lorsque tu observes cette boîte d'œuf , tu remarques qu'elle comporte 6 unités-morceaux égales. Elle est donc coupée, divisée en 6.
C'est ce que signifie la barre de fraction : / veut dire "divisé", "coupé en". Pense à un couteau !
En dessous se trouve le dénominateur qui indique le nombre d'unités-morceaux qui découpent l'unité.
/6 signifie que cette unité lorsqu'elle est entière , est divisée en 6 parties égales.
Cette boîte est entière et comporte les 6 unités morceaux. On les indique au-dessus de la barre de fraction.
Tu peux donc , dans cette situation, écrire l'unité comme suit: 1 boîte = 6/6 boîte.
3. et 5.
1 boîte = 3/3 boîte se lit trois tiers
4.
1 boîte = 10/10 se lit dix dixièmes
6.
1 boîte = 4/4 boîte se lit quatre quarts
Imagine un enfant qui joue avec la boîte de 6 oeufs et des grosses graines. Il peut très bien inventer des situations mathématiques sans s'en rendre compte, s'il se donne des règles précises.
Par exemple, il peut s'amuser à mettre 3 graines dans chaque cavité de la boîte.
A ce moment-là , il aura créé une situation mathématique qu'on peut retranscrire comme suit en observant la boîte:
1 boîte = 6/6 boîte = 18/18 boîte
Car dans son imagination, les graines correspondent à quelque chose d'important, qui "compte".
Et , s'il respecte la règle de "parts égales", il peut faire de cette boîte, un nombre infini de fractions.
1 boîte = 6/6 boîte = 18/18 boîte = 12/12 boîte etc.….
Par la suite, en progressant dans le domaine mathématique, tu ne seras pas obligé de repasser par toutes ces manipulations pour comprendre que ces fractions sont égales. Nous allons, plus bas, en tirer des règles qui te permettront de faire des calculs abstraits en utilisant que les symboles mathématiques.
Activités
1) Combien de graines a-t-il mis dans chaque cavité si on obtient les fractions suivantes?
30/30 boîte Chaque cavité comprend …… graines
54/54 boîte Chaque cavité comprend……… graines
2) A quelle fraction correspondent les quantités suivantes ?
Il a mis 8 graines dans chaque cavité . La fraction observée est …/….
Il a mis 11 graines dans chaque cavité. La fraction observée est …../…..
Remarque:
Tous les dénominateurs de ces fractions égales sont des multiples de 6.C'est important quand tu voudras "simplifier" une fraction c'est à dire avoir les plus petits nombres représentant cette fraction.
Le multiple d'un nombre peut être divisé par ce nombre en parts égales.
Exemple:
30 est un multiple de 5 En effet 30 divisé par 5 font 6 ou 6x5 = 30
Astuce: Tu peux trouver tous les multiples d'un nombre en récitant les résultats de sa table de multiplication.
Exemple: 5 -10-15-20-25-30-35-40-45-50 etc.… sont des multiples de 5
Tu observeras qu'ils se terminent tous par 5 ou par 0
Il est très important d'observer ce genre de choses pour développer ton esprit de recherche et ton raisonnement.
Activité:
1) Trouve les multiples de 6 compris entre 1 et 100
2) Vrai ou Faux ?
28 est un multiple de 7 mais aussi un multiple de 4
Trouve l'opération qui le démontre
19 est un multiple de 2
Trouve la propriété de tous les multiples de 2
Ce sont tous des nombres pairs ?
Ce sont tous des nombres impairs ?
A quoi cela sert-il dans la vie courante d'avoir plusieurs écritures d'un même nombre ?
a)Tout d'abord, tu tiens compte de tous les aspects de la situation.
Une boîte d'œufs, c'est une boîte, mais c'est aussi des œufs. Selon ce que tu as besoin de calculer, tu changeras d'unité.
Attention:
Si dans le langage courant tu peux éventuellement dire 1 boîte = 6 œufs, ce qui signifie plutôt , dans chaque boîte , il y a 6 œufs, tu ne peux pas le faire lorsque tu es dans le domaine de l'abstraction.
Tu ne peux pas écrire 1 = 6 si ces deux nombres font partie du même système numérique.
b)Ecrire des quantités qui ont une partie non entière.
Une fraction permet aussi d'écrire des quantités qui ne sont pas des nombres entiers en tenant compte justement des unités-morceaux qu'on trouve dans cette unité.
Imagine une situation où tu abîmes la boite et son contenu d'œufs.
Utilise une boite à œufs pour faire cette activité: tu la déchires en deux parties égales
Il ne te reste plus que la moitié de la boîte et la moitié d'œufs si elle était remplie:
C'est une demi-boîte. Elle contient trois œufs
Il reste 3 œufs. 3 est un nombre entier.
Mais imagine que c'est la boîte ton unité, parce que tu dois peser son poids pour évaluer les déchets, évaluer le recyclage possible ou toute autre situation.
Tu ne peux pas dire que tu as 0 boîte. Ne serait-ce que si c'est à la suite d'un sinistre, ces unités abimées peuvent être en très grand nombre.
Mais tu ne peux pas non plus dire que tu as 1 boîte.
La fraction te permet de décrire numériquement cette quantité.
S'il te reste la moitié de la boîte tu pourras l'écrire ainsi:
L'unité entière était divisée en 6 unités morceaux, donc on écrira en-dessous de la barre : /6 6 est le dénominateur
Il ne reste que 3 unités morceaux. Je les place au-dessus de la barre . C'est le numérateur.
Voici le résultat: 3/6
Tu peux déjà comparer cette quantité à 1. Elle est inférieure à 1 3/6<1
Nous avons employé le mot "moitié" pour décrire cette boîte dans le langage courant.
Lorsque tu as une moitié de pomme, tu as une demi-pomme.
En mathématiques tu l'écriras : 1/2 pomme.
Tu peux donc écrire aussi 1/2 boîte.
Tu peux donc dire que
3/6 boîte = 1/2 boîte.
Mais au collège, tu dois aussi apprendre à abstraire et à utiliser des nombres sans unité réelle et faire des calculs seulement symboliques, c'est à dire avec des signes ne représentant pas forcément des choses existantes.
Donc 3/6 =1/2 est une égalité que tu peux utiliser pour n'importe quel autre calcul nécessaire.
Revenons au jeu de l'enfant qui manipule.
Admettons qu'il a des graines dans cette demi-boîte.
S'il en a 5 dans chaque cavité, il pourra écrie la fraction suivante 15/30
En effet , il a 3x5 graines et son unité boîte entière pourrait contenir 30 graines et s'écrirait 30/30
Donc on peut dire que:
1/2 = 3/6 =15/30
Activité:
Entoure les fractions égales à 1/2 en expérimentant si besoin avec une boîte à œufs et des graines.
N'hésite pas à faire des schémas et à écrire tes résultats à côté.
2/20 - 6/12 - 9/20 - 9/18- 12/24 - 15/30 -32/60 -30/60
Voici les réponses:
1/2 = 6 /12 = 9/18 = 12/24 = 15/30 =30/60
En observant les fractions tirées de cette situation concrète, on peut trouver une relation entre elles qui permet de vérifier tout de suite si elles sont égales.
Comparons:
1/2 = 6/12
Si nous observons les deux numérateurs et les deux dénominateurs, nous remarquons qu'il y a un opérateur commun pour passer de l'un à l'autre:
Un opérateur est relation réalisée par une opération entre deux éléments.
Pour passer de 1à 6 et de 6 à 12 on obtient l'opérateur commun en haut et en bas x2
Vérifions avec d'autres fractions
1/2 = 9/18 1x9 =9 2x9 =18
Si nous ne pouvons pas le faire entre 6/12 et 15/30
Nous pouvons tout de même le faire entre
15/30 et 30/60 l'opérateur commun étant x2
Donc comme nous pouvons prouver que 6/12 et 30/60 sont égales (opérateur commun x5)
nous pouvons aussi prouver 15/30 = 30/60
Donc 6/12 = 15/30
Puisqu'au collège on t'a sûrement appris la formule
si a = b et b= c alors a = c
Mais il y a une autre façon de montrer que toutes ces fractions sont égales:
Observe la relation qu'il y a entre leur numérateur et leur dénominateur.
Cette relation est un aussi un opérateur. Cet opérateur est x2. Ce sera le même opérateur pour toutes les fractions égales. Ici il est simple à trouver car c'est un nombre entier. Parfois , tu trouveras des opérateurs qui ne sont pas des nombres entiers.
Si on nomme ta fraction a/b Dans cette situation toutes les fractions qui auront cette propriété seront égales à 1/2
ax2 =b
Vérifie avec d'autres nombres en te détachant de la boîte de 6 œufs .
Imagine une pomme coupée en quatre .
On appelle ces unités-morceaux des quarts.
Tu auras donc
1 = 4/4
Tu partages cette pomme de façon égale entre deux personnes.
Chacune aura 2 unités-morceaux ou deux quarts (2/4)
Cela correspond à la moitié de la pomme donc à 1/2
Donc 1/2 = 2/4
1x2 = 2 2x2 = 4
2/4 est aussi égale à 3/6 -15/30 etc
Lorsque tu as compris cette règle tu peux appliquer cette propriété pour faire des calculs sans passer par des manipulations. Il s'agit d'aller de plus en plus vers l'abstraction en apprenant ensuite des règles que tu appliqueras de façon automatique mais que dont tu auras compris et vérifié le sens.
Activité
Barre toutes les fractions qui ne sont pas égales à 1/2
2/3 -4/8 -5/10 -6/14 - 8/16 - 21/42
Lecture des dénominateurs
1/1 se lit un sur un. Il correspond à une unité n'ayant qu'un seul morceau
1/2 se lit un demi
1/3 se lit un tiers
1/4 se lit un quart
1/5 se lit un cinquième
1/6 se lit un sixième etc...
A partir du dénominateur cinquième , tous les autres se forment comme les nombres ordinaux (qui servent à placer selon un ordre chronologique).
septième, huitième, neuvième, dixième, ….. vingtième, vingt et unième … centième.. millième….
Nou avons observé des fractions égales ou inférieures à 1.
Une fraction peut aussi être supérieure à 1 ou représenter une partie entière d'unités (un paquet d'unités) + une partie non entière.
Exemples:
Utilise maintenant 2 boîtes de 12 oeufs
Voici une quantité composée de 2 boîtes de 12 œufs.
L'unité que nous utiliserons est donc la boîte à œufs.
Nous allons représenter cette donnée numérique " 2 boîtes" en une fraction égale en observant comment est représentée cette quantité.
Chaque unité est divisée en 12 unités-morceaux. Le dénominateur de la fraction représentant cette quantité de 2 boîtes sera donc /12.
Attention ne confonds pas la quantité qui peut être de plusieurs unités et l'unité elle-même :
Si tu écris /24 c'est que tu représentes une situation d'une unité divisée en 24 morceaux. Ce n'est pas le cas ici. On n'a pas une boîte avec 24 unités-morceaux .
Maintenant compte le nombre d'unités morceaux que tu as dans cette situation:
Il y a 24 unités-morceaux lorsque tu comptes les 2 boîtes
Donc tu peux écrire: 2 = 24/12
Voici une autre propriété à connaître:
Une fraction représente en fait le résultat de l'opération : numérateur divisé par dénominateur.
Ici c'est facile à calculer : 24 divisé par 12 = 2
De même tu peux aussi trouver des fractions égales en trouvant l'opérateur qui te permet de passer du dénominateur au numérateur qui est "divisé par 2"
Activité
Quelles sont les fractions ci-dessous égales à 2 et donc à 24/12 ?
8/4 - 10/5 -12/7- 5/ 2- 6/3- 24/12- 18/9
Tu dois appliquer la propriété des fractions en te détachant de plus en plus des représentations réelles. Mais si cela t'est encore nécessaire pour comprendre n'hésite pas à faire des schémas. Il arrivera un moment où la compétence s'ancrera dans ta tête et calculer deviendra un automatisme.
Imaginons maintenant la situation suivante.
A la fin d'une grande fête de famille il reste des parts de gâteaux un peu partout sur des plats .Il s'agit d'unités-morceaux . Les gâteaux, notre unité , étaient coupés en 8. On est donc dans une situation avec des "huitièmes".
On reforme des gâteaux sur les plats mais ça ne tombe pas juste. On a récupéré 20 parts de gâteau c'est à dire 20 /8.
Cette fraction peut être représentée de plusieurs façons. On peut en extraire la partie entière qui correspond aux nombres de gâteaux reconstitués.
Il faut 8 parts pour faire un gâteau. 8/8 = 1
Combien de fois peut-on faire 8/8 dans 20/8 ?
On peut faire 2 fois 8/8 c'est à dire qu'on peut extraire 16/8 pour reconstituer 2 gâteaux. Il restera 4/8.
Donc 20/8 = 16/8 + 4/8 = 2 +4/8
L'utilisation des fractions te permet ainsi de décrire des quantités ayant une partie non entière ce que tu ne peux pas faire avec des nombres entiers du système décimal pour l'instant.
L'intérêt des fractions c'est qu'on peut passer d'une écriture fractionnaire (avec une fraction) à une écriture décimale qui permet de représenter des nombres inférieurs à 1 et des nombres ayant une partie non entière .
Il suffit pour cela d'utiliser les fractions dites décimales. Ces fractions décimales sont facilement transposables dans le système de numération décimale que tu as vu dans le dossier "nombres".
Qu'est ce qu'une fraction décimale?
Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est un multiple de 10
Retournons à une situation concrète
Observe le système monétaire de l'Union Européenne.
Nous partirons de l'unité euro.
Cette unité euro existe en pièces de 1 euro.
Mais il existe aussi des pièces de 10 centimes qui sont des unités morceaux de l'unité euro.
Il en faut 10 pour faire 1 euro. On peut dire qu'une pièce de 10 centimes est 1/10 d'euro.
Tu es donc dans une situation ou 1euro =10/10 euro
Imagine que tu as 25 pièces de 10 centimes, donc 25 dixièmes. Tu voudrais avoir moins de monnaie dans ton porte monnaie et donc essayer d'avoir le maximum de pièces de 1 euro.
Tu peux extraire de ces 25 dixièmes, 20 dixièmes qui te donneront 2 pièces de 1 euro + 5 dixièmes.
On peut donc écrire :
25/10 = 20/10+5/10 = 2 + 5/10 = 2,5
La virgule a pour rôle de séparer la partie entière de la partie qu'on appelle décimale et qui est en fait la partie de la quantité dont on parle qui est inférieure à 1
.Ces unités-morceaux peuvent se placer dans le système de numération décimale puisque qu'elles ont les mêmes propriétés que toutes les autres unités du système décimal :
dès qu'on a 10 dixièmes, on a 1 qui rentre dans la colonne des unités. Ce qui reste est placé dans la colonne juste à droite des unités, car ce sont des unités-morceaux représentant une unité divisée en 10 donc 10 fois plus petites. C'est aussi une quantité non entière. Pour bien le marquer, on place une virgule entre les unités et les unités-morceaux pour les séparer.
Dans ta poche tu as 3 euros et 4 pièces de 10 centimes, c'est à dire 4 dixièmes d'euros.
Tu ne peux représenter exactement cette situation par 3 ou par 4.
La valeur de cette quantité est située entre les deux.
Tu as 3 +4/10.
Les fractions décimales feront l'objet d'un autre chapitre.
Et surtout, pour bien comprendre le fonctionnement et le sens des fractions, n'hésite pas à manipuler en utilisant tout le matériel de récupération que tu trouves à la maison.
Ensuite, tu t'en éloigneras lorsque tu auras compris et acquis les "propriétés " des fractions.
