La Boîte à Maths Chapitre 3 : La notion d'unité en mathématiques

CHAPITRE 3 : LA NOTION D’UNITE

Tu as dû remarquer que la notion d’unité apparaît beaucoup dans notre système de numération.

Le mot « unité » vient du mot « un » et de ce fait son sens découle du chiffre 1.

Cependant on ne peut pas s’en tenir à cette simple définition.

C’est là qu’interviennent encore la différence entre la notion de chiffre = signe d’écriture , et de nombre = quantité.

Le nombre 1, dans le domaine de la quantité , représente « un tout ».

Ce « tout » peut être fait d’éléments simples comme les unités , placées dans la colonne la plus à droite du tableau, te permettant d’écrire les nombres de 1 à 9.

Dans la classe des (unités) simples qui contient 3 colonnes à la droite du tableau de numération :tu pourras inscrire le nombre entier le plus petit , 1, mais aussi le plus grand nombre à 3 chiffres , 999.

Mais tu retrouves le mot « unité » dans toutes les autres classes . Tu as donc les unités de la classe des mille , les unités de la classe des millions, les unités de la classe des milliards, etc.

Ces unités-là ne représentent donc plus des unités simples des « uns » , mais des « un mille » ou (mille ou milliers), des « un million » ou des millions, des « un milliard » ou des milliards.
En fait chaque colonne du tableau, quelle qu'elle soit peut être considérée comme une unité si on le

 décide.

Lorsque tu as une situation problème à résoudre, il  faut  que tu saches exactement ce que sont ces « uns » , ces unités pour savoir ce que représente la donnée numérique et répondre convenablement aux questions posées en choisissant les bons nombres. 

Sortons maintenant du tableau de numération et des quantités abstraites ne représentant pas quelque chose de réel.

Exemple :

Tu as déjà entendu dire : « une douzaine d’oeufs ». C’est à dire qu’on peut compter en « douzaines » et donc chaque unité sera en fait une boîte de « douze oeufs » comportant des unités-morceaux qui sont les œufs. 

Si tu décides que tu comptes les boîtes tu auras par exemple 2 ou 3 boîtes qui seront tes unités. Mais si tu décides de compter en « oeufs » ton unité sera donc les œufs et tu auras donc 24 ou 36 œufs.

Il faut donc faire très attention à ces détails lorsque tu as un problème à résoudre. Te demander quelle est l’unité dont on parle, de quelle donnée numérique tu auras besoin pour trouver une réponse. Si on te demande le nombre de personnes, certains nombres seront peut-être inutiles dans l’énoncé pour certaines questions alors que d’autres seront indispensables.
 Le mieux est d’essayer de bien visualiser la situation voire de faire un schéma si cela t’est utile.

Si on veut récapituler :

Tu peux donc avoir comme unité des groupes de dix (10) personnes et alors on parlera de dizaines de personnes. Tu peux avoir des paquets de vingt cinq mille (25 000) confettis et tu auras donc l’unité sera le paquet, mais si on te demande une réponse en confettis, il faudra que tu changes d’unités et prendre les données numériques qui les représentent.

Les unités de mesures

Si tu as un problème à résoudre avec des mesures tu auras là-aussi de nombreuses unités différentes.

Pour les mesures de longueur, il y aura par exemple : le mètre, le centimètre, le kilomètres etc.

Pour les mesures de masses, il y aura par exemple : le gramme, le kilogramme, la tonne etc.

Pour les mesures de quantité, il y aura par exemple : le litre, le centilitre, le millilitre etc.….

L’intérêt des unités de mesures ci-dessus c’est qu’elle fonctionnent dans un système décimal. Une fois que tu sais le placer par ordre de grandeur dans un tableau de numération , tu peux calculer et convertir des quantités de façon très simple en appliquant les mêmes règles que le système de numération décimale.

				Unités de référence
Unités de longueur	kilomètre kg	hectomètre hg	décamètre dam	mètre m	décimètre dm	centi-mètre cm	milli- mètre mm
Unités de masse	kilogramme kg	hectogramme hg	décagramme dag	gramme g	décigramme dg	centi- gramme cg	milli- gramme mg
Unités de capacité	1000 litres = 1m3	hectolitre hl	décalitre dal	litre l	décilitre dl	centi-litre cl	milli-litre ml
A	1	0	0	0	0	0	0
B	0	0	0	1	0	0	0
C	0	0	2	5	0	0	0
D	0	3	0	0	0	0	0

Les mots utilisés se ressemblent et sont formés à partir des mêmes préfixes pour les trois tableaux et des mêmes suffixes à l’intérieur d’un tableau donné.

Par exemple le préfixe « kilo » signifie « mille fois » ; « hecto  » signifie « cent  fois» ; « déca » signifie « dix fois ».

Le préfixe « milli » signifie «  divisé par mille », « centi » signifie  «  divisé par cent », « déci » signifie « divisé par dix ».

Quant à l’unité de référence pour chaque tableau elle est reprise en fin de chaque mot.

Il s’agit de « mètre », « gramme » , « litre ».

Tu peux cependant choisir n’importe quelle autre unité comme unité de référence pour résoudre ton problème si tu en as besoin. Mais le fonctionnement est toujours le même :

Vers la gauche, dix fois plus grand par colonne.

Vers la droite, dix fois plus petit, donc divisé par dix, par colonne.


A se lira donc :

1kg = un kilogramme si tu choisis l'unité "kilogramme"

Mais si tu choisis l'unité "gramme"

A se lira donc 1000g = mille grammes

Le fonctionnement est le même si tu choisis l'unité "mètre" ou "litre".

C'est donc comme si il y a avait sur ce tableau , un "curseur"  que tu bouges selon que tu choisis une unité ou l'autre . Tu le places sur la donnée numérique à l'endroit dont tu as besoin pour faire des conversions.

Convertir une donnée c'est changer son unité sans changer sa valeur.

Exemples:

25 litres = 25 000 millilitres     25l=25ml

3 hectolitres = 300 litres  3 hl = 300l


etc.….

Sur la toile tu trouveras des exercices de ce type pour t'entraîner.

Remarques :

1)Le mot « kilolitre »n’est pas employé. On utilise donc une autre unité qui est le mètre cube écrit m³. Ce système de capacité se réfère à trois mesures, la hauteur, la profondeur et la largeur du cube. Il ne fonctionne donc pas comme les systèmes décrits ci-dessus.

1000 litres correspondent à la quantité d’eau que l’on pourrait mettre dans un cube dont les arêtes mesurent 1 mètre.

2) Dans les mesures de masses, il existe deux autres unités utilisées couramment dans certains domaines.

Il s’agit de l’unité « tonne » et de l’unité « quintal ».

Une tonne équivaut à mille kilogrammes.

Un quintal équivaut à cent kilogrammes.

Les quintaux sont beaucoup utilisés dans le monde agricole où on parle de « quintaux de blé ».

Nous en resterons pour l’instant à l’étude de ces systèmes décimaux mais il existe de nombreux autres systèmes de mesure, comme le système de mesures de durée . Ce dernier étant basé sur des phénomènes naturels, comme le rotation de la terre sur elle-même et sa révolution autour du soleil, ne peut pas entrer dans un système décimal qui ne lui correspond pas.


Activité 1

Mémento  vocabulaire  : les mots de la même famille  De nombreux mots sont dérivés du mot "un" . On dit qu'ils sont "de la même famille". En voici  quelques uns qui pourront t'être utiles car ils sont utilisés fréquemment: Une: déterminant féminin de "un" Uni :  Adjectif qui signifie que tout est pareil, sans inégalité. On parle par exemple d'un tissu uni = un tissu d'une seule couleur, sans ornements Une famille unie = une famille dont les membres se soutiennent les uns les autres et partagent les peines et les joies. Ce mot est aussi le participe passé du verbe "unir". Exemple : Pour la première fois de sa vie , le maire de ce petit village,  a uni par le mariage , deux homosexuels. Dans notre pays , ces mariages sont rendus possible depuis le 17 mai 2013. Uniforme : adjectif qui signifie que tout  a la même forme Par exemple, les ballons de rugby sont "uniformes" car ils sont tous la même forme, c'est une règle du jeu. Uniforme : nom . Il s'agit d'un vêtement que tout le monde porte dans un contexte donné. Les uniformes des gendarmes, les uniformes des élèves dans les écoles anglaises etc.…. Union : nom  Lorsqu'on forme une union, on prend des choses ou des êtres provenant d'horizons différents qu'on met ensemble pour faire un nouveau "tout". Le mot "association" est un bon synonyme. Quand un couple vit en "union libre" ce qui est aujourd'hui fréquent dans la société française, cela signifie qu'ils vivent ensemble et forment un couple mais que  cette union n'est pas déclarée officiellement par un "Pacs" ou un mariage. Le pacs signifie "pacte civil de solidarité" et les deux personnes du  couple doivent  déclarer à la mairie qu'ils vivent ensemble. Même si cela unit les deux partenaires officiellement, il est plus facile à dissoudre qu'un mariage civil . Lorsque les individus ont choisi de s'unir (faire une union) par le mariage, il faut beaucoup de formalités avant qu'ils puissent divorcer c'est à dire se séparer officiellement. Unique :  adjectif qui signifie , "seul en son genre".  Chaque être humain est unique . Chacun a un patrimoine génétique différent sauf les vrais jumeaux (nés d'un même œuf) . Ils restent cependant uniques par leurs empreintes digitales qui sont différentes . Univers :  L' univers représente tout ce qui existe, le monde entier, notre système solaire et tous les autres, tout ce que notre cerveau humain est pour l'instant capable d'imaginer. Mais on peut aussi avoir son petit "univers" , un endroit à soi, matériel ou intellectuel , dans lequel on retrouve ses affaires ou ses idées. x 24Exemple: Cet atelier , c'est son univers. Il y passe ses loisirs à peindre.

Consigne:

Compte le nombre d'élèves de ta classe et découpe autant de papiers.
Ensuite, compte le nombre de mots dérivés du mot "un" définis ci-dessus.
Chacun des papiers devra comporter un de ces mots.
 Ils devront tous apparaître le même nombre de fois dans le jeu de tirage au sort suivant.
Si ça ne tombe pas juste, c'est à dire si le nombre d'élèves n'est pas un multiple du nombre de mots , tu pourras compléter le "reste" avec les mots que tu auras choisi.

Exemple:

24 est un multiple de 1 , de 2 , de  3 , de 8 , de 12, de 24

En effet , on peut obtenir 24  en multipliant ces nombres:
1x24   3x8   2x12.
On peut donc faire:
1 paquet de 24 ou 24 paquets de 1

2 paquets de 12 ou 12 paquets de 1

3 paquets de 8 ou 8 paquets de 3


Dans ton problème , il y a des unités différentes:
 Des papiers, des élèves, des mots.

Quelles unités vas-tu  utiliser ?

Pour t'aider :

Tu dois faire des paquets de 7 mots et cela autant de fois que possible dans le nombre d'élèves que comporte ta classe. M ais en fait, ce nombre d'élèves va te servir uniquement parce qu'il est identique au nombre de papiers que tu vas créer.

Si ce nombre d'élèves est un multiple de 7, tous les mots apparaitront autant les uns que les autres.

Quels sont les multiples de 7 ?

Truc et astuce : Tu les retrouves à la fin de la table de multiplication.

A toi maintenant de régler ces problèmes et de créer ton jeu.

Lorsqu'il sera fait , la règle du jeu est de faire une (ou plusieurs) phrase(s) orale(s) avec le mot tiré. N'hésite pas à y exprimer tes idées personnelles.




Activité 2

Regarde ces  documents

Ecris toutes les unités qui sont exprimées par les données numériques que tu y trouves.

Activité 3

Regarde cette recette  et réponds aux questions suivantes :

1) Que signifie à ton avis , en français,  "numbercake" ?

2) Trouve un  terme mathématiques (un nom commun)  qui définit la forme de ce dessert .
Aide-toi du texte de la recette.

3) Regarde la première ligne en haut de la recette. Elle comporte plusieurs schémas sur lesquels sont inscrites des données numériques. La première n'a pas d'unité concrète.
Que représente ce nombre 4 ?

4)  Traduis ces schémas en un petit texte écrit  en expliquant par des mots ce qu'ils signifient.


Activité 4


Regarde ce document.

On y trouve deux fois la donnée numérique 3.


Cependant elles n'ont pas la même unité. L'une représente des  heures , l'autre des euros.
Réponds aux questions suivantes:

1) Comment les produits seront-ils livrés ?

2) Le livreur peut-il mettre moins de trois heures pour livrer les produits au domicile du client ?

3) Le livreur peut-il mettre plus de trois heures pour livrer les produits au domicile du client ?

4)Pour rendre l'expression "en 3 heures" plus compréhensible, que pourrait-on y rajouter ?

" En 3 heures minimum"  , c'est à dire qu'il faut au moins trois heures pour livrer ?
ou
"En 3 heures "maximum" , c'est à dire que les produits seront livrés dans les trois heures et pas plus ?

5) S'agit-il de ce qu'on appelle  en mathématiques une situation proportionnelle  ?

Peux-tu mettre les données de la situation qui nous concerne dans un tableau de proportionnalité ?

Durée en heures
Prix en euros

Si tu veux savoir ce qu'est une situation proportionnelle regarde le petit mémento ci-dessous.

Mémento  Deux suites de nombres sont proportionnelles quand on passe de l’une à l’autre par la fonction numérique « multiplier par ». Exemple : Nombres de boîtes 1 2 3 4 5 Nombre d’oeufs 12 24 36 48 60 On calcule les nombres de la deuxième ligne en multipliant ceux de la première par 12. Les nombres de la deuxième ligne sont proportionnels à ceux de la première. Le coefficient de proportionnalité est l’opérateur « multiplier par » qui permet de passer d’une ligne de nombres à l’autre . Ici l’opérateur est « x 12 », « multiplié par 12 » Exercice inspiré par le livre : Toutes les mathématiques par ordre alphabétique . CM1/CM2/6ème Hatier Edition 2000 page 163

Tâche finale

Invente de petite situations problèmes comportant  des données numériques ayant des unités différentes . Tu peux aussi t'inspirer de documents authentiques que tu collectes autour de toi, dans ton environnement  comme les documents des activités 3  et 4  "récoltées" dans des commerces.
Tu pourras, selon leur niveau de difficulté , les proposer à une école primaire pour des élèves de cm2, lors de leur visite du collège avant d'entrer en 6ème.